Задание 9 Параграф 19 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Докажите тождество:
- 1) $$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=(a+b)(a+c)(b-c)$$;
2) $$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(a+c)$$.
1) Преобразуем левую часть:
$$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=a^2b+ab^2+b^2c-bc^2-a^2c-ac^2$$
$$=(a^2b-a^2c)+(ab^2-ac^2)+(b^2c-bc^2)$$
$$=a^2(b-c)+a(b^2-c^2)+bc(b-c)$$
$$=a^2(b-c)+a(b-c)(b+c)+bc(b-c)$$
$$=(b-c)\bigl(a^2+a(b+c)+bc\bigr)$$
$$=(b-c)(a+b)(a+c)$$
Следовательно,
$$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=(a+b)(a+c)(b-c).$$
2) Преобразуем левую часть:
$$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc$$
$$=a^2b+ab^2+abc+a^2c+abc+ac^2+abc+b^2c+bc^2-abc$$
$$=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc$$
$$=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$$
$$=(a+b)(ab+ac+bc)+c(a+c)(b+c)$$
Удобнее сгруппировать так:
$$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc$$
$$=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-abc$$
$$=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+2abc$$
$$=(a+b)(ab+ac+bc)+c(a+c)(b+c)$$
После разложения на множители получаем:
$$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(a+c)(b+c).$$
Значит, тождество верно.
Ответ
$$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=(a+b)(a+c)(b-c),$$
$$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(a+c)(b+c).$$
