Задание 7 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)+a^2=(a^2-2)^2;$$
   2) $$(a+7)^2-2(a-9)(a+7)+(a-9)^2=256;$$
   3) $$(3a-5)^2+2(3a-5)(5-2a)+(2a-5)^2=a^2.$$

1. Преобразуем левую часть:

   $$(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)+a^2 =((a-1)(a+1))((a-2)(a+2))+a^2$$

   $$=(a^2-1)(a^2-4)+a^2 =a^4-5a^2+4+a^2 =a^4-4a^2+4$$

   $$= (a^2-2)^2.$$

   Следовательно,

   $$(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)+a^2=(a^2-2)^2.$$

2. Преобразуем левую часть как квадрат разности:

   $$(a+7)^2-2(a-9)(a+7)+(a-9)^2 =\bigl((a+7)-(a-9)\bigr)^2$$

   $$=(16)^2=256.$$

   Значит,

   $$(a+7)^2-2(a-9)(a+7)+(a-9)^2=256.$$

3. Преобразуем левую часть как квадрат суммы:

   $$(3a-5)^2+2(3a-5)(5-2a)+(2a-5)^2$$

   так как $$2a-5=-(5-2a)$$, то

   $$(2a-5)^2=(5-2a)^2.$$

   Тогда

   $$(3a-5)^2+2(3a-5)(5-2a)+(5-2a)^2 =\bigl((3a-5)+(5-2a)\bigr)^2$$

   $$=(a)^2=a^2.$$

   Следовательно,

   $$(3a-5)^2+2(3a-5)(5-2a)+(2a-5)^2=a^2.$$

Ответ

1) $$(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)+a^2=(a^2-2)^2$$; 2) $$(a+7)^2-2(a-9)(a+7)+(a-9)^2=256$$; 3) $$(3a-5)^2+2(3a-5)(5-2a)+(2a-5)^2=a^2$$.