Задание 18 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Известно, что целое число n не кратно 3. Докажите, что значение выражения $$n^2+8$$ кратно 3.

Так как число $$n$$ не кратно $$3$$, то оно имеет вид $$n=3k+1$$ или $$n=3k+2$$, где $$k$$ — целое число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$n=3k+1$$, то

$$n^2+8=(3k+1)^2+8=9k^2+6k+1+8=9k^2+6k+9=3(3k^2+2k+3).$$

Значит, $$n^2+8$$ кратно $$3$$.

2) Если $$n=3k+2$$, то

$$n^2+8=(3k+2)^2+8=9k^2+12k+4+8=9k^2+12k+12=3(3k^2+4k+4).$$

Следовательно, и в этом случае $$n^2+8$$ кратно $$3$$.

Итак, при любом целом $$n$$, не кратном $$3$$, выражение $$n^2+8$$ делится на $$3$$.

Ответ

$$n^2+8$$ кратно $$3$$.