Задание 17 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом целом $$n$$ значение выражения $$(n-2)(n-1)n(n+1)+1$$ является квадратом целого числа.

$$(n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n-2)(n+1)\cdot(n-1)n+1$$

$$=(n^2-n-2)(n^2-n)+1$$

Обозначим $$n^2-n=x$$. Тогда

$$(x-2)x+1=x^2-2x+1=(x-1)^2$$

Возвращаясь к переменной $$n$$, получаем

$$(n^2-n-1)^2$$

Следовательно, при любом целом $$n$$ значение выражения является квадратом целого числа.

Ответ

$$(n^2-n-1)^2$$