Задание 16 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(n^2 + 1)(n — 1) — (n — 1)^3$$ кратно $$4$$.

$$(n^2+1)(n-1)-(n-1)^3=(n-1)\bigl(n^2+1-(n-1)^2\bigr)$$

$$=(n-1)\bigl(n^2+1-(n^2-2n+1)\bigr)=(n-1)\cdot 2n=2n(n-1)$$

Числа $$n$$ и $$n-1$$ — последовательные, значит одно из них чётное. Тогда произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$, а значит выражение $$2n(n-1)$$ делится на $$4$$.

Ответ: выражение кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.