Задание 16 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ уравнение $$(a^2-64)x=a+8$$:

1. имеет бесконечно много корней;
2. не имеет корней;
3. имеет один корень?

Рассмотрим уравнение $$\left(a^2-64\right)x=a+8.$$

Разложим разность квадратов:

$$\left(a-8\right)\left(a+8\right)x=a+8.$$

Это линейное уравнение относительно $$x$$. Возможны три случая.

1. Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно тождественно верно:

   $$\left(a-8\right)\left(a+8\right)=0 \quad \text{и} \quad a+8=0.$$

   Отсюда $$a=-8.$$ Тогда получаем:

   $$(-8-8)(-8+8)x=-8+8,$$

   $$0x=0.$$

   Значит, $$x$$ — любое число.

2. Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $$x$$ равен нулю, а правая часть не равна нулю:

   $$a^2-64=0 \quad \text{и} \quad a+8\ne 0.$$

   Из $$a^2-64=(a-8)(a+8)=0$$ получаем $$a=8$$ или $$a=-8$$. Но $$a=-8$$ уже даёт бесконечно много корней, поэтому остаётся:

   $$a=8.$$

   Тогда:

   $$0x=16,$$

   решений нет.

3. Уравнение имеет один корень, если коэффициент при $$x$$ не равен нулю:

   $$a^2-64\ne 0,$$

   то есть

   $$a\ne 8,\quad a\ne -8.$$

Ответ: 1) $$a=-8$$; 2) $$a=8$$; 3) $$a\ne 8,\ a\ne -8.$$