Задание 15 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на $$9$$ равен $$3$$, то квадрат этого числа делится нацело на $$9$$.

Пусть неполное частное при делении числа $$m$$ на $$9$$ равно $$x$$. Тогда

$$m=9x+3.$$

Возведём это выражение в квадрат:

$$m^2=(9x+3)^2=81x^2+54x+9=9(9x^2+6x+1).$$

Следовательно, $$m^2$$ делится нацело на $$9$$.

Можно записать и так:

$$m^2=(9x+3)^2=(3(3x+1))^2=9(3x+1)^2,$$

значит, $$m^2$$ делится нацело на $$9$$.

Ответ: квадрат числа делится нацело на $$9$$.