Задание 15 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Остаток при делении на $$9$$ натурального числа $$m$$ равен $$7$$, а натурального числа $$n$$ — $$2$$. Докажите, что разность квадратов чисел $$m$$ и $$n$$ делится нацело на $$9$$.

Пусть неполное частное при делении числа $$m$$ на $$9$$ равно $$x$$. Тогда

$$m=9x+7.$$

Пусть неполное частное при делении числа $$n$$ на $$9$$ равно $$y$$. Тогда

$$n=9y+2.$$

Тогда

$$\begin{aligned} m^2-n^2&=(9x+7)^2-(9y+2)^2 \\ &=(9x+7-(9y+2))(9x+7+(9y+2)) \\ &=(9x-9y+5)(9x+9y+9) \\ &=9( x-y )\,(9x+9y+9)+5(9x+9y+9). \end{aligned}$$

Удобнее сразу вынести общий множитель $$9$$:

$$\begin{aligned} m^2-n^2&=(9x+7)^2-(9y+2)^2 \\ &=(9x+7-9y-2)(9x+7+9y+2) \\ &=(9x-9y+5)(9x+9y+9) \\ &=9(9x-9y+5)(x+y+1). \end{aligned}$$

Следовательно, $$m^2-n^2$$ делится нацело на $$9$$.

Ответ: $$m^2-n^2$$ делится нацело на $$9$$.