Задание 14 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на $$99$$.

Пусть одно из этих чисел равно $$10a+b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — однозначные натуральные числа. Тогда другое число равно $$10b+a.$$

Рассмотрим разность квадратов:

$$(10a+b)^2-(10b+a)^2= \bigl((10a+b)-(10b+a)\bigr)\bigl((10a+b)+(10b+a)\bigr).$$

Упростим скобки:

$$(10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)=(9a-9b)(11a+11b).$$

Вынесем множители:

$$(9a-9b)(11a+11b)=9\cdot 11\,(a-b)(a+b)=99(a-b)(a+b).$$

Следовательно, разность квадратов этих чисел делится нацело на $$99.$$

Ответ

Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на $$99.$$