Задание 14 Параграф 9 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма чисел $$\overline{abc}$$, $$\overline{bca}$$ и $$\overline{cab}$$ делится нацело на сумму цифр этих трёх чисел.

Сумма цифр данных трёх чисел:

$$a+b+c+b+c+a+c+a+b=3a+3b+3c=3(a+b+c).$$

Сумма данных чисел равна:

$$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111a+111b+111c=111(a+b+c).$$

Так как $$111=37\cdot 3,$$ то

$$111(a+b+c)=37\cdot 3\cdot (a+b+c).$$

Следовательно, сумма чисел $$\overline{abc},\ \overline{bca},\ \overline{cab}$$ делится нацело на сумму цифр этих трёх чисел.

Ответ

Делится нацело.