Задание 13 Параграф 19 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения $$n^4+4$$ является простым числом.

$$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$$

$$n^4+4=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n).$$

Чтобы число $$n^4+4$$ было простым, один из множителей должен быть равен $$1$$.

Рассмотрим возможные случаи:

$$n^2+2-2n=1$$

$$n^2-2n+1=0$$

$$\left(n-1\right)^2=0$$

$$n=1.$$

Или

$$n^2+2+2n=1$$

$$n^2+2n+1=0$$

$$\left(n+1\right)^2=0$$

$$n=-1,$$

но это не натуральное число.

Следовательно, подходит только $$n=1$$.

Ответ: $$1$$.