Задание 13 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Подберите такие значения $$a$$ и $$b$$, при которых система уравнений
   $$\begin{cases} x+2y=5,\\ 2x-ay=b \end{cases}$$:
   1) имеет бесконечно много решений;
   2) имеет единственное решение;
   3) не имеет решений.

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x+2y=5,\\ 2x-ay=b. \end{cases}$$

1. Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Тогда коэффициенты при $$x$$ и $$y$$, а также свободные члены должны быть пропорциональны:

   $$\frac{1}{2}=\frac{2}{-a}=\frac{5}{b}.$$

   Из равенства

   $$\frac{1}{2}=\frac{2}{-a}$$

   получаем

   $$-a=4,\quad a=-4.$$

   Из равенства

   $$\frac{1}{2}=\frac{5}{b}$$

   находим

   $$b=10.$$

   Ответ: $$a=-4$$, $$b=10$$.

2. Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. Значит, коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ не должны быть пропорциональны:

   $$\frac{1}{2}\ne \frac{2}{-a}.$$

   Отсюда

   $$a\ne -4.$$

   При этом достаточно, чтобы не выполнялось условие совпадения прямых, то есть

   $$b\ne 10.$$

   Ответ: $$a\ne -4$$, $$b\ne 10$$.

3. Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны и различны. Тогда коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет:

   $$\frac{1}{2}=\frac{2}{-a},\qquad \frac{5}{b}\ne \frac{1}{2}.$$

   Из первого равенства получаем

   $$a=-4.$$

   Из второго равенства

   $$b\ne 10.$$

   Ответ: $$a=-4$$, $$b\ne 10$$.