Задание 12 Параграф 19 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$n^3+5n$$ кратно 6.

$$n^3+5n=n^3-n+6n=(n^3-n)+6n=n(n^2-1)+6n=n(n-1)(n+1)+6n.$$

Числа $$n-1,$$ $$n,$$ $$n+1$$ — три последовательных натуральных числа, значит, одно из них делится на $$2,$$ а одно — на $$3.$$ Следовательно, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6.$$

Кроме того, $$6n$$ тоже делится на $$6.$$ Тогда и сумма

$$n(n-1)(n+1)+6n$$

делится на $$6.$$ Значит, выражение $$n^3+5n$$ кратно $$6$$ при любом натуральном $$n.$$

Ответ: $$n^3+5n$$ кратно $$6$$ при любом натуральном $$n.$$