Задание 12 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения:
   
   1) $$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}$$ кратно 14.
   
   2) $$5^{6n-1}-3\cdot5^{6n-2}+2\cdot5^{6n-3}$$ кратно 12.
   
   3) $$9^{3n+1}-27^{2n-1}$$ кратно 121.

1) $$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+2^2)=2^n(1+2+4)=2^n\cdot 7.$$

Так как $$2^n=2\cdot 2^{n-1},$$ то

$$2^n\cdot 7=14\cdot 2^{n-1},$$

значит, выражение кратно $$14.$$

2) $$5^{6n-1}-3\cdot 5^{6n-2}+2\cdot 5^{6n-3}=5^{6n-3}(5^2-3\cdot 5+2).$$

Тогда

$$5^{6n-3}(25-15+2)=5^{6n-3}\cdot 12,$$

значит, выражение кратно $$12.$$

3) $$9^{3n+1}-27^{2n-1}=(3^2)^{3n+1}-(3^3)^{2n-1}=3^{6n+2}-3^{6n-3}.$$

Вынесем общий множитель:

$$3^{6n-3}(3^5-1)=3^{6n-3}(243-1)=3^{6n-3}\cdot 242=3^{6n-3}\cdot 121\cdot 2.$$

Следовательно, выражение кратно $$121.$$

Ответ

1) кратно $$14$$; 2) кратно $$12$$; 3) кратно $$121$$.