Задание 10 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения: 1) $$(n+11)^2-(n-4)^2$$ делится нацело на $$15$$; 2) $$(9n+2)^2-(3n-2)^2$$ делится нацело на $$12$$; 3) $$(7n+10)^2-(7n-6)^2$$ делится нацело на $$32$$; 4) $$(9n+16)^2-(2n-5)^2$$ делится нацело на $$77$$.

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

1. $$(n+11)^2-(n-4)^2=(n+11-(n-4))(n+11+(n-4))$$

   $$=(15)(2n+7)$$

   Следовательно, выражение делится нацело на $$15$$.

2. $$(9n+2)^2-(3n-2)^2=(9n+2-(3n-2))(9n+2+(3n-2))$$

   $$=(6n+4)\cdot 12n=12(6n^2+4n)$$

   Следовательно, выражение делится нацело на $$12$$.

3. $$(7n+10)^2-(7n-6)^2=(7n+10-(7n-6))(7n+10+(7n-6))$$

   $$=16(14n+4)=32(7n+2)$$

   Следовательно, выражение делится нацело на $$32$$.

4. $$(9n+16)^2-(2n-5)^2=(9n+16-(2n-5))(9n+16+(2n-5))$$

   $$=(7n+21)(11n+11)=7\cdot 11\,(n+3)(n+1)=77(n+3)(n+1)$$

   Следовательно, выражение делится нацело на $$77$$.

Ответ: во всех четырёх случаях выражение делится нацело на указанные числа: $$15,\ 12,\ 32,\ 77.$$