Задание 17 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 17. Докажите, что при любом целом n значение выражения (n — 2)(n — 1 )n(n + 1) + 1 является квадратом целого числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_wb7 17-17 715

Подробный ответ

$$
(n-2)(n-1)n(n+1)+1
$$
сгруппируем множители:
$$
(n-2)(n+1)\cdot(n-1)n+1.
$$
Вычислим каждую скобку:
$$
(n-2)(n+1)=n^2-n-2,
$$
$$
(n-1)n=n^2-n.
$$
Тогда
$$
(n^2-n-2)(n^2-n)+1.
$$
Обозначим
$$
a=n^2-n.
$$
Получим
$$
(a-2)a+1=a^2-2a+1=(a-1)^2.
$$
Возвращаясь к переменной $$n$$, имеем
$$
(n^2-n-1)^2.
$$
Значит, выражение при любом целом $$n$$ является квадратом целого числа.