Задание 15 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 15. Остаток при делении на 9 натурального числа m равен 7, а натурального числа n — 2. Докажите, что разность квадратов чисел m и n делится нацело на 9. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_wb7 15-15 715

Подробный ответ

Пусть неполное частное при делении числа $$m$$ на $$9$$ равно $$x$$. Тогда

$$m=9x+7.$$

Пусть неполное частное при делении числа $$n$$ на $$9$$ равно $$y$$. Тогда

$$n=9y+2.$$

Рассмотрим разность квадратов:

$$
m^2-n^2=(9x+7)^2-(9y+2)^2
$$

По формуле разности квадратов получаем:

$$
m^2-n^2=(9x+7-(9y+2))(9x+7+(9y+2))
$$

$$
=(9x-9y+5)(9x+9y+9)
$$

$$
=(9x-9y+5)\cdot 9(x+y+1).
$$

Следовательно, $$m^2-n^2$$ делится нацело на $$9$$.