Задание 14 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 14. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на 99. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_wb7 15-14 715

Подробный ответ

Пусть одно из двузначных чисел равно $$10a+b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — однозначные натуральные числа. Тогда другое число, записанное теми же цифрами, равно $$10b+a.$$

Рассмотрим разность их квадратов:

$$
(10a+b)^2-(10b+a)^2
$$

Применим формулу разности квадратов:

$$
(10a+b-(10b+a))(10a+b+10b+a)
$$

$$
=(9a-9b)(11a+11b)
$$

$$
=9\cdot 11\,(a-b)(a+b)=99(a-b)(a+b).
$$

Следовательно, эта разность делится нацело на $$99$$.