Задание 13 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 13. Докажите, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на 8. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_wb7 15-13 715

Подробный ответ

Пусть данное нечётное число равно $$2n-1,$$ где $$n$$ — натуральное число. Тогда рассмотрим выражение:

$$
(2n-1)^2-1
$$

Разложим его на множители:

$$
(2n-1)^2-1=(2n-1-1)(2n-1+1)=(2n-2)\cdot 2n
$$

$$
(2n-2)\cdot 2n=2(n-1)\cdot 2n=4n(n-1)
$$

Числа $$n$$ и $$n-1$$ — последовательные, значит одно из них чётное. Следовательно, произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$, а значит, число $$4n(n-1)$$ делится на $$8$$.

Итак, квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на $$8$$.