Задание 10 Параграф 28 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) {(3/x+14/y=-30; 7/x+4/y=16);
2) {(9/(x-3y)+55/(2x+4y)=8; 12/(x-3y)-11/(2x+4y)=3).

Подробный ответ

Обозначим $$\frac{1}{x}=a,\quad \frac{1}{y}=b.$$ Тогда система примет вид
$$
\begin{cases}
3a+14b=-30,\\
7a+4b=16.
\end{cases}
$$
Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$7$$:
$$
\begin{cases}
6a+28b=-60,\\
49a+28b=112.
\end{cases}
$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$43a=172,\quad a=4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\cdot 4+14b=-30,$$
$$14b=-42,\quad b=-3.$$
Тогда
$$\frac{1}{x}=4,\quad \frac{1}{y}=-3,$$
откуда
$$x=\frac14,\quad y=-\frac13.$$
Обозначим $$\frac{1}{x-3y}=a,\quad \frac{1}{2x+4y}=b.$$ Тогда система примет вид
$$
\begin{cases}
9a+55b=8,\\
12a-11b=3.
\end{cases}
$$
Умножим второе уравнение на $$5$$:
$$
\begin{cases}
9a+55b=8,\\
60a-55b=15.
\end{cases}
$$
Сложим уравнения:
$$69a=23,\quad a=\frac13.$$
Подставим в первое уравнение:
$$9\cdot \frac13+55b=8,$$
$$3+55b=8,\quad 55b=5,\quad b=\frac1{11}.$$
Тогда
$$\frac{1}{x-3y}=\frac13,\quad \frac{1}{2x+4y}=\frac1{11},$$
откуда
$$x-3y=3,\quad 2x+4y=11.$$
Решим систему:
$$
\begin{cases}
x-3y=3,\\
2x+4y=11.
\end{cases}
$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$
\begin{cases}
2x-6y=6,\\
2x+4y=11.
\end{cases}
$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$10y=5,\quad y=\frac12.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x-3\cdot \frac12=3,$$
$$x=\frac92.$$