Упр.947 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Каждому рациональному числу, отличному от нуля, соответствует обратное ему число. Является ли такое правило функцией? Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении п значение выражения (5n + 10)2 — (2n + 4)2 делится нацело на 84?

1) Правило, по которому каждому рациональному числу, отличному от нуля, ставится в соответствие обратное ему число, является функцией, так как каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции:

$$x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \ne 0.$$

2) Проверим делимость выражения:

$$
(5n+10)^2-(2n+4)^2
=25n^2+100n+100-4n^2-16n-16
=21n^2+84n+84
=21(n^2+4n+4)
=21(n+2)^2.
$$

Так как $n$ — чётное натуральное число, то $n+2$ тоже чётное. Значит, $(n+2)^2$ делится на $4$.

Тогда

$$21(n+2)^2$$

делится на $$21 \cdot 4 = 84.$$

Ответ

Да, это правило является функцией. Да, при любом натуральном чётном $n$ выражение $$ (5n+10)^2-(2n+4)^2 $$ делится нацело на $84$.