Упр.936 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: У вкладчика на счёте в банке лежит 1000 рублей. Ему разрешается проводить две операции: снимать со счёта 252 рубля или класть на счёт 222 рубля. Сможет ли он с помощью этих операций добиться того, что на счёте останется 12 рублей? Найдите все пары (х; у) целых чисел, являющиеся решениями уравнения х2 + у2 =5. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 936 715

Пусть вкладчик x раз снимал со счёта $$252$$ рубля и y раз клал на счёт $$222$$ рубля. Тогда по условию:

$$1000-252x+222y=12$$

Перенесём числа в одну сторону:

$$252x-222y=988$$

Разделим левую и правую части на $$2$$:

$$126x-111y=494$$

Левая часть делится на $$3$$, так как $$126$$ и $$111$$ делятся на $$3$$. Но число $$494$$ на $$3$$ не делится. Значит, уравнение не имеет целых решений.

Следовательно, с помощью этих операций вкладчик не сможет добиться того, чтобы на счёте осталось $$12$$ рублей.

Теперь найдём все целые пары $$\left(x;y\right)$$, удовлетворяющие уравнению $$x^2+y^2=5$$.

Так как $$x^2$$ и $$y^2$$ — неотрицательные целые числа, возможны только разложения числа $$5$$ на сумму квадратов:

$$5=1+4=4+1$$

Отсюда:

$$x=\pm 1,\quad y=\pm 2$$

или

$$x=\pm 2,\quad y=\pm 1$$

Значит, все целые решения:

$$\left(1;2\right),\ \left(1;-2\right),\ \left(-1;2\right),\ \left(-1;-2\right),\ \left(2;1\right),\ \left(2;-1\right),\ \left(-2;1\right),\ \left(-2;-1\right).$$

Ответ

Вкладчик не сможет. $$\left(1;2\right),\ \left(1;-2\right),\ \left(-1;2\right),\ \left(-1;-2\right),\ \left(2;1\right),\ \left(2;-1\right),\ \left(-2;1\right),\ \left(-2;-1\right).$$