Упр.870 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (а + b + с)3 — а3 — b3 — с3 = 3(а + b)(b + с)(а + с);
2) (а — b)3 +(b- с)3 — (а- с)3 = -3 (а -b)(b- с) (а — с).
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:
1) у = 2,5х + 10; 2) у = 6x — 4.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:
$$
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3
=\bigl((a+b+c)^3-a^3\bigr)-\bigl(b^3+c^3\bigr).
$$
Удобнее раскрыть куб суммы и привести подобные:
$$
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc.
$$
Тогда
$$
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3
=3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc.
$$
Вынесем $3$ и сгруппируем:
$$
=3\bigl(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc\bigr)
$$
$$
=3(a+b)(b+c)(a+c).
$$
Преобразуем левую часть:
$$
(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3.
$$
Используем формулу разности кубов:
$$
(a-b)^3+(b-c)^3=(a-c)\bigl((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2\bigr).
$$
Тогда
$$
(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3
$$
$$
=(a-c)\bigl((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2\bigr).
$$
Раскроем скобки внутри:
$$
(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2
=-3(a-b)(b-c).
$$
Следовательно,
$$
(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).
$$
Найдём точки пересечения графика $$y=2{,}5x+10$$ с осями координат.
С осью $$Ox$$: при $$y=0$$
$$
0=2{,}5x+10,\quad 2{,}5x=-10,\quad x=-4.
$$
Точка пересечения: $$(-4;0)$$.
С осью $$Oy$$: при $$x=0$$
$$
y=2{,}5\cdot 0+10=10.
$$
Точка пересечения: $$(0;10)$$.
Найдём точки пересечения графика $$y=6x-4$$ с осями координат.
С осью $$Ox$$: при $$y=0$$
$$
0=6x-4,\quad 6x=4,\quad x=\frac{2}{3}.
$$
Точка пересечения: $$\left(\frac{2}{3};0\right)$$.
С осью $$Oy$$: при $$x=0$$
$$
y=6\cdot 0-4=-4.
$$
Точка пересечения: $$(0;-4)$$.