Упр.868 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

а) примените формулу разности квадратов;
б) раскройте скобки и примените метод группировки:
1) (ab +1)2 — (а + b)2;
2) (а + 2b)2 — (ab + 2)2.
Постройте в одной системе координат графики функций у = х -1 и у = 1/4*х + 2 и найдите координаты точки их пересечения.

1. 1) $$ (ab+1)^2-(a+b)^2 $$

   а) По формуле разности квадратов:

   $$
   (ab+1)^2-(a+b)^2=((ab+1)-(a+b))((ab+1)+(a+b))
   $$

   $$
   =(ab-a-b+1)(ab+a+b+1)
   $$

   $$
   =(a(b-1)-(b-1))(a(b+1)+(b+1))
   $$

   $$
   =(b-1)(a-1)(b+1)(a+1)
   $$

   б) Раскроем скобки и сгруппируем:

   $$
   (ab+1)^2-(a+b)^2=a^2b^2+2ab+1-a^2-2ab-b^2
   $$

   $$
   =a^2b^2-a^2-b^2+1
   $$

   $$
   =a^2(b^2-1)-(b^2-1)
   $$

   $$
   =(b^2-1)(a^2-1)
   $$

   $$
   =(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)
   $$

2. 2) $$ (a+2b)^2-(ab+2)^2 $$

   а) По формуле разности квадратов:

   $$
   (a+2b)^2-(ab+2)^2=((a+2b)-(ab+2))((a+2b)+(ab+2))
   $$

   $$
   =(a-ab+2b-2)(a+ab+2b+2)
   $$

   $$
   =(a(1-b)-2(1-b))(a(1+b)+2(1+b))
   $$

   $$
   =(1-b)(a-2)(1+b)(a+2)
   $$

   б) Раскроем скобки и сгруппируем:

   $$
   (a+2b)^2-(ab+2)^2=a^2+4ab+4b^2-a^2b^2-4ab-4
   $$

   $$
   =a^2+4b^2-a^2b^2-4
   $$

   $$
   =(a^2-a^2b^2)+(4b^2-4)
   $$

   $$
   =a^2(1-b^2)-4(1-b^2)
   $$

   $$
   =(1-b^2)(a^2-4)
   $$

   $$
   =(1-b)(1+b)(a-2)(a+2)
   $$

3. Графики функций $$y=x-1$$ и $$y=\frac14x+2$$ пересекаются в точке, координаты которой найдём из уравнения:

   $$
   x-1=\frac14x+2
   $$

   $$
   x-\frac14x=3
   $$

   $$
   \frac34x=3
   $$

   $$
   x=4
   $$

   Тогда

   $$
   y=4-1=3
   $$

Ответ

1) $$ (ab+1)^2-(a+b)^2=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1) $$;

2) $$ (a+2b)^2-(ab+2)^2=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2) $$;

точка пересечения графиков: $$ (4;3) $$.