Упр.829 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Графиком некоторой функции является ломаная ABCD с вершинами в точках А (-3; 6); В (-1; 2); С (3; -2); D (9; 0).
1) Постройте график данной функции.
2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 2; 6.
3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: 1;-1; 0.

Подробный ответ

Пусть два последовательных нечётных натуральных числа — это $$2n+1$$ и $$2n+3$$.

Тогда их сумма кубов равна

$$
(2n+1)^3+(2n+3)^3.
$$

Вынесем сумму множителей по формуле суммы кубов:

$$
(2n+1)^3+(2n+3)^3=((2n+1)+(2n+3))\bigl((2n+1)^2-(2n+1)(2n+3)+(2n+3)^2\bigr).
$$

Упростим:

$$
(2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1),
$$

$$
(2n+1)^2-(2n+1)(2n+3)+(2n+3)^2
$$
$$
= (4n^2+4n+1)-(4n^2+8n+3)+(4n^2+12n+9)
$$
$$
=4n^2+8n+7.
$$

Значит,

$$
(2n+1)^3+(2n+3)^3=4(n+1)(4n^2+8n+7).
$$

Следовательно, сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.