Упр.820 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (а — 5)(а2 + 5а + 25) — (а — 1)(а2 + а + 1);
2) ( у — 3) (y2 + 3у + 9) — у(у — 3 )(у + 3) — (y+ 3)2;
3) (а — b)(а + b)(а4 + а2b2 + b4).
Докажите, что в любом 60-значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001.

1. $$ (a-5)(a^2+5a+25)-(a-1)(a^2+a+1) $$

   Используем формулу разности кубов:
   $$ (a-5)(a^2+5a+25)=a^3-125, $$
   $$ (a-1)(a^2+a+1)=a^3-1. $$

   Тогда
   $$ a^3-125-(a^3-1)=a^3-125-a^3+1=-124. $$

2. $$ (y-3)(y^2+3y+9)-y(y-3)(y+3)-(y+3)^2 $$

   Преобразуем по формулам сокращённого умножения:
   $$ (y-3)(y^2+3y+9)=y^3-27, $$
   $$ y(y-3)(y+3)=y(y^2-9)=y^3-9y, $$
   $$ (y+3)^2=y^2+6y+9. $$

   Тогда
   $$ y^3-27-(y^3-9y)-(y^2+6y+9) $$
   $$ =y^3-27-y^3+9y-y^2-6y-9 $$
   $$ =-y^2+3y-36. $$

3. $$ (a-b)(a+b)(a^4+a^2b^2+b^4) $$

   Сначала перемножим первые два множителя:
   $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

   Тогда
   $$ (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=a^6-b^6, $$
   так как это формула разности кубов:
   $$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), $$
   где $$ x=a^2 $$, $$ y=b^2 $$.

4. В 60-значном числе, не содержащем нулей, возможны только цифры $$1,2,\dots,9$$. Таких цифр 9, а позиций 60. По принципу Дирихле найдутся как минимум $$\left\lceil \frac{60}{9} \right\rceil = 7$$ одинаковых цифр.

   Среди этих одинаковых цифр можно выбрать подряд идущие шесть. Если число, составленное из шести одинаковых цифр $$a$$, то оно равно
   $$ aaaaaa=a\cdot 111111. $$

   Число $$111111$$ делится нацело на $$1001$$, так как
   $$ 111111=1001\cdot 111. $$
   Значит, и число $$aaaaaa$$ делится нацело на $$1001$$.

   Следовательно, можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы оставшееся число делилось нацело на $$1001$$.

Ответ

1) $$-124$$;
2) $$-y^2+3y-36$$;
3) $$a^6-b^6$$;
4) можно.