Упр.786 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Найдите такое наименьшее натуральное значение а, при котором выражение x2 — 4x + 2а принимает положительные значения при любом значении x.

1) Используем формулу квадрата суммы:

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab.$$

Подставим данные:

$$a^2+b^2=7^2-2\cdot 2=49-4=45.$$

2) Рассмотрим выражение

$$x^2-4x+2a.$$

Чтобы оно принимало положительные значения при любом значении $$x$$, его наименьшее значение должно быть положительным.

Преобразуем:

$$x^2-4x+2a=(x-2)^2+2a-4.$$

Так как $$ (x-2)^2 \ge 0 $$ при любом $$x$$, наименьшее значение выражения равно $$2a-4$$. Требуем:

$$2a-4>0,$$

$$2a>4,$$

$$a>2.$$

Наименьшее натуральное значение $$a$$ равно $$3$$.

Ответ

$$a^2+b^2=45; \quad a=3.$$