Упр.769 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

(а-2)(а-3)(а + 3)(а + 2) + а2 = (а2 — б)2? Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Поясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой f, найдите f(2),f(-5),f(0).

Подробный ответ

Проверим тождество:

$$
(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2=(a^2-6)^2
$$

Сгруппируем множители:

$$
(a-2)(a+2)=a^2-4,\qquad (a-3)(a+3)=a^2-9
$$

Тогда левая часть равна

$$
(a^2-4)(a^2-9)+a^2
$$

Раскроем скобки:

$$
a^4-9a^2-4a^2+36+a^2=a^4-12a^2+36
$$

Правая часть:

$$
(a^2-6)^2=a^4-12a^2+36
$$

Левая и правая части совпадают, значит, равенство является тождеством.

Теперь рассмотрим правило, по которому каждому числу ставят в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта.

Такому числу соответствует единственное неотрицательное число — его расстояние до нуля, значит, это правило является функцией.

Эта функция задаётся формулой:

$$
f(x)=|x|
$$

Область определения:

$$
D(f)=\mathbb{R}
$$

Область значений:

$$
E(f)=[0;+\infty)
$$

Найдём значения функции:

$$
f(2)=|2|=2,\qquad f(-5)=|-5|=5,\qquad f(0)=|0|=0
$$