Упр.752 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) m^2 + 2mn + n^2; 2) b^2 — 2bс + с^2; 3) 11^2 — 2 · 11 · р + р^2. Пусть х1, х2, …, х25 — некоторый набор натуральных чисел, а набор у1, у2, …, у25 получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения (x1 — у1)(х2 — y2)…(x25 — y25) является чётным числом.

Подробный ответ

Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$$
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,
$$

$$
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
$$

Тогда:

$$
m^2+2mn+n^2=(m+n)^2,
$$

$$
b^2-2bc+c^2=(b-c)^2,
$$

$$
11^2-2\cdot 11\cdot p+p^2=(11-p)^2.
$$

Теперь докажем, что произведение $$\left(x_1-y_1\right)\left(x_2-y_2\right)\cdots\left(x_{25}-y_{25}\right)$$ чётно.

Так как набор $$y_1,y_2,\ldots,y_{25}$$ получен из набора $$x_1,x_2,\ldots,x_{25}$$ перестановкой, то среди чисел $$x_i$$ и $$y_i$$ есть хотя бы одно чётное число. Тогда для некоторого номера $$i$$ разность $$x_i-y_i$$ будет чётной, потому что:

разность двух нечётных чисел — чётное число;
разность двух чётных чисел — чётное число;
если одно число чётное, а другое нечётное, то разность нечётна, но в наборе из 25 чисел при перестановке обязательно найдётся хотя бы одна пара с одинаковой чётностью, дающая чётную разность.

Следовательно, в произведении есть хотя бы один чётный множитель, а значит, всё произведение чётно.