Упр.748 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Известно, что натуральные числа m и n таковы, что значение выражения 10m + n делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения (10m + n)(10n + m) делится нацело на 121. На координатной плоскости отметьте точки: А (2; 3); В (4; -5); С (-3; 7); D (-2; 2); К (-2; -2); М (0; 2); N (-3; 0); Р (1; -6); F (-4; -2). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 748 715

Подробный ответ

Так как $$10m+n$$ делится на $$11$$, то существует натуральное число $$a$$ такое, что

$$10m+n=11a.$$

Тогда

$$10n+m=10(11a-10m)+m,$$

но удобнее заметить, что из делимости $$10m+n$$ на $$11$$ следует и делимость на $$11$$ числа $$10n+m$$, поскольку

$$10m+n \equiv 0 \pmod{11} \Rightarrow 10(10m+n)\equiv 0 \pmod{11}.$$

Так как $$10\equiv -1 \pmod{11}$$, получаем

$$10(10m+n)=100m+10n \equiv m+10n \equiv 10n+m \pmod{11}.$$

Значит, $$10n+m$$ тоже делится на $$11$$. Поэтому существует натуральное число $$b$$ такое, что

$$10n+m=11b.$$

Тогда