Упр.741 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Поезд «Сапсан» отправился из Москвы в 05:45 и прибыл в Санкт-Петербург в 09:15. Протяжённость маршрута составляет 650 км. Найдите среднюю скорость движения поезда. Ответ дайте в километрах в час, округлив до десятых. Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения n4 + n2 + 1 является составным числом.

1) Найдём время в пути:

$$9\text{ ч }15\text{ мин} — 5\text{ ч }45\text{ мин} = 3\text{ ч }30\text{ мин} = 3{,}5\text{ ч}.$$

2) Средняя скорость равна отношению пути ко времени:

$$v=\frac{650}{3{,}5}=\frac{6500}{35}=185{,}714\ldots \approx 185{,}7.$$

Значит, средняя скорость поезда равна $$185{,}7\text{ км/ч}.$$

Докажем, что при любом натуральном $$n\ne 1$$ число $$n^4+n^2+1$$ составное.

Преобразуем выражение:

$$n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2=(n^2+1)^2-n^2.$$

Разность квадратов:

$$ (n^2+1)^2-n^2=(n^2+1-n)(n^2+1+n). $$

То есть

$$n^4+n^2+1=(n^2-n+1)(n^2+n+1).$$

При $$n>1$$ оба множителя больше 1, значит число $$n^4+n^2+1$$ является составным.

Ответ

$$185{,}7\text{ км/ч};$$ при $$n>1$$ число $$n^4+n^2+1$$ составное.