Упр.740 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) х4 + 5х 2 + 9;
2) х4 — 8х2 + 4.

Подробный ответ

Пусть пять последовательных натуральных чисел: $$n,\; n+1,\; n+2,\; n+3,\; n+4.$$

Тогда их сумма квадратов равна

$$
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2
$$

$$
= n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)+(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)
$$

$$
= 5n^2+20n+30=5(n^2+4n+6).
$$

Полученное выражение делится на $$5$$, но не является квадратом натурального числа, так как квадрат натурального числа при делении на $$5$$ может давать только остатки $$0,1,4$$, а здесь после выделения множителя $$5$$ остаётся число $$n^2+4n+6$$, которое не может сделать всё выражение квадратом. Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

1) $$x^4+5x^2+9$$

$$
x^4+5x^2+9=x^4+6x^2+9-x^2=(x^2+3)^2-x^2
$$

$$
=(x^2+3-x)(x^2+3+x).
$$

2) $$x^4-8x^2+4$$

$$
x^4-8x^2+4=x^4-4x^2+4-4x^2=(x^2-2)^2-(2x)^2
$$

$$
=(x^2-2-2x)(x^2-2+2x).
$$