Упр.738 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

(2n +1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 +2n + 1)2.
Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VT в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n1 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (2n — 1)3 — 4а2 + 2n + 1 делится нацело на 16.

Подробный ответ

1) Раскроем скобки в левой части:

$$
(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2
= (4n^2+4n+1)+(4n^4+8n^3+4n^2)
$$
$$
=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1.
$$

Теперь раскроем квадрат правой части:

$$
(2n^2+2n+1)^2
= (2n^2+2n)^2+2(2n^2+2n)+1
$$
$$
=4n^4+8n^3+4n^2+4n^2+4n+1
=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1.
$$

Левая и правая части равны, значит, тождество доказано.

2) Проверим делимость выражения $$ (2n-1)^3-4n^2+2n+1 $$ на $$16$$:

$$
(2n-1)^3-4n^2+2n+1
= (8n^3-12n^2+6n-1)-4n^2+2n+1
$$
$$
=8n^3-16n^2+8n
=8n(n^2-2n+1)
=8n(n-1)^2.
$$

Так как среди двух соседних чисел $$n$$ и $$n-1$$ одно чётное, то произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$. Тогда $$n(n-1)^2$$ тоже делится на $$2$$, а значит, выражение $$8n(n-1)^2$$ делится на $$16$$.