Упр.731 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (а + b + с)3 — а3 — b3 — с3 = 3(а + b)(b + с)(а + с);
2) (а — b)3 +(b- с)3 — (а- с)3 = -3 (а -b)(b- с) (а — с).

Пусть натуральное число имеет вид $$25n+5$$, где $$n$$ — натуральное число или $$n=0$$.

Тогда

$$
(25n+5)^2=625n^2+250n+25=25(25n^2+10n+1).
$$

Следовательно, квадрат этого числа делится на $$25$$.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3
$$
$$
=(a+b+c)^3-a^3-(b^3+c^3).
$$

Используем формулы разности кубов:

$$
(a+b+c)^3-a^3=(b+c)\bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\bigr),
$$
$$
b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2).
$$

Тогда

$$
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3
$$
$$
=(b+c)\Bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2-(b^2-bc+c^2)\Bigr).
$$

После упрощения получаем:

$$
(b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc)=3(b+c)(a^2+ab+ac+bc).
$$

Сгруппируем:

$$
a^2+ab+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c).
$$

Значит,

$$
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c).
$$

2) Аналогично:

$$
(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3
$$
$$
=(a-b)^3+(b-c)^3-\bigl((a-b)+(b-c)\bigr)^3.
$$

По формуле

$$
x^3+y^3-(x+y)^3=-3xy(x+y)
$$
при $$x=a-b$$ и $$y=b-c$$ получаем:

$$
(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).
$$

Ответ

Если остаток при делении натурального числа на $$25$$ равен $$5$$, то его квадрат кратен $$25$$. Тождества верны:

$$
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c),
$$
$$
(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).
$$