Упр.729 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Разложите выражение на множители двумя способами:
а) примените формулу разности квадратов;
б) раскройте скобки и примените метод группировки:
1) (ab +1)2 — (а + b)2;
2) (а + 2b)2 — (ab + 2)2.

Подробный ответ

Пусть дано нечётное натуральное число $$2n+1$$. Тогда

$$
(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1.
$$

Числа $$n$$ и $$n+1$$ — соседние натуральные, значит, одно из них делится на $$2$$. Тогда произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$, а выражение $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.

Следовательно, квадрат нечётного натурального числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$.

1) Разложим на множители:

а)

$$
(ab+1)^2-(a+b)^2=
\bigl((ab+1)-(a+b)\bigr)\bigl((ab+1)+(a+b)\bigr)
$$

$$
=(ab-a-b+1)(ab+a+b+1)
$$

$$
=(a(b-1)-(b-1))\bigl(a(b+1)+(b+1)\bigr)
$$

$$
=(b-1)(a-1)(b+1)(a+1).
$$

б)

$$
(ab+1)^2-(a+b)^2=a^2b^2+2ab+1-a^2-2ab-b^2
$$

$$
=a^2b^2-a^2-b^2+1
=a^2(b^2-1)-(b^2-1)
$$

$$
=(b^2-1)(a^2-1)
=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1).
$$

2) Разложим на множители: