Упр.728 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите тождество:
1) (а + 2)3 — 25(а + 2) = (а + 2)(а + 7)(а — 3);
2) а2 + 2ab + b2 — с2 + 2cd — d2 = (а + b + с — d)(a + b — с + d).

1) Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов:

$$
(a+2)^3-25(a+2)=(a+2)\bigl((a+2)^2-25\bigr)
$$

$$
(a+2)\bigl((a+2)-5\bigr)\bigl((a+2)+5\bigr)=(a+2)(a-3)(a+7)
$$

Следовательно,

$$
(a+2)^3-25(a+2)=(a+2)(a+7)(a-3).
$$

2) Сгруппируем слагаемые:

$$
a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2=(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)
$$

$$
=(a+b)^2-(c-d)^2
$$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$$
(a+b)^2-(c-d)^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d).
$$

Значит,

$$
a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d).
$$

Ответ

1) $$ (a+2)^3-25(a+2)=(a+2)(a+7)(a-3) $$

2) $$ a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d) $$