Упр.726 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

(а — b)3 = a3 — 3а2b + 3аb — b3.
Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:
1) (1-х)3;
2) (х-5y)3.
Решите уравнение:
1) х3 — х = 0;
2) х4 + х2 = 0;
3) х4 — 8х3 =0;
4) 49х3 + 14х2 + х = 0;
5) х3 + х2 — х -1 = 0;
6) х3 — 4х2 — 25х + 100 = 0.

Подробный ответ

Используем формулу куба разности:

$$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. $$

Тогда:

$$ (1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3, $$

$$ (x-5y)^3=x^3-15x^2y+75xy^2-125y^3. $$

Решим уравнения.

$$ x^3-x=0 $$
$$ x(x^2-1)=0 $$
$$ x(x-1)(x+1)=0 $$
$$ x=0,\; x=1,\; x=-1. $$
$$ x^4+x^2=0 $$
$$ x^2(x^2+1)=0 $$
$$ x^2=0 \quad \text{или} \quad x^2+1=0. $$
$$ x=0, $$
а уравнение $$ x^2+1=0 $$ действительных решений не имеет.
$$ x^4-8x^3=0 $$
$$ x^3(x-8)=0 $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad x-8=0. $$
$$ x=0,\; x=8. $$
$$ 49x^3+14x^2+x=0 $$
$$ x(49x^2+14x+1)=0 $$
$$ x(7x+1)^2=0 $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad 7x+1=0. $$
$$ x=-\frac{1}{7}. $$
$$ x^3+x^2-x-1=0 $$
$$ x^2(x+1)-(x+1)=0 $$
$$ (x+1)(x^2-1)=0 $$
$$ (x+1)(x-1)(x+1)=0 $$
$$ (x+1)^2(x-1)=0 $$
$$ x=-1,\; x=1. $$
$$ x^3-4x^2-25x+100=0 $$
$$ x^2(x-4)-25(x-4)=0 $$
$$ (x-4)(x^2-25)=0 $$
$$ (x-4)(x-5)(x+5)=0 $$
$$ x=4,\; x=5,\; x=-5. $$