Упр.725 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

(а + b)3 = a3 + 3a2b + 3аb2 + b3.
Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:
1) (х + З)3;
2) (2х + у)3. Решите уравнение:
1) х3 — 4х = 0;
2) х4 — х2 = 0;
3) х5 — 36х3 = 0;
4) 9х3 — х = 0;
5) х3 — 10х2 + 25х = 0;
6) х3 + 2х2 — 9х — 18 = 0;
7) х3 — 5х2 + 4х — 20 = 0;
8) х5 — х4 — х + 1 = 0.

Используем формулу куба суммы:

$$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. $$

Тогда:

1) $$ (x+3)^3=x^3+3x^2\cdot 3+3x\cdot 3^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27; $$

2) $$ (2x+y)^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3. $$

Решим уравнения.

1) $$ x^3-4x=0 $$

$$ x(x^2-4)=0 $$

$$ x(x-2)(x+2)=0 $$

$$ x=0,\; x=2,\; x=-2. $$

2) $$ x^4-x^2=0 $$

$$ x^2(x^2-1)=0 $$

$$ x^2(x-1)(x+1)=0 $$

$$ x=0,\; x=1,\; x=-1. $$

3) $$ x^5-36x^3=0 $$

$$ x^3(x^2-36)=0 $$

$$ x^3(x-6)(x+6)=0 $$

$$ x=0,\; x=6,\; x=-6. $$

4) $$ 9x^3-x=0 $$

$$ x(9x^2-1)=0 $$

$$ x(3x-1)(3x+1)=0 $$

$$ x=0,\; x=\frac13,\; x=-\frac13. $$

5) $$ x^3-10x^2+25x=0 $$

$$ x(x^2-10x+25)=0 $$

$$ x(x-5)^2=0 $$

$$ x=0,\; x=5. $$

6) $$ x^3+2x^2-9x-18=0 $$

$$ x^2(x+2)-9(x+2)=0 $$

$$ (x+2)(x^2-9)=0 $$

$$ (x+2)(x-3)(x+3)=0 $$

$$ x=-2,\; x=3,\; x=-3. $$

7) $$ x^3-5x^2+4x-20=0 $$

$$ x^2(x-5)+4(x-5)=0 $$

$$ (x-5)(x^2+4)=0 $$

$$ x=5. $$

8) $$ x^5-x^4-x+1=0 $$

$$ x^4(x-1)-(x-1)=0 $$

$$ (x-1)(x^4-1)=0 $$

$$ (x-1)(x^2-1)(x^2+1)=0 $$

$$ (x-1)(x-1)(x+1)(x^2+1)=0 $$

$$ x=1,\; x=-1. $$

Ответ

1) $$x^3+9x^2+27x+27$$; 2) $$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$$.

1) $$x=0,\pm 2$$; 2) $$x=0,\pm 1$$; 3) $$x=0,\pm 6$$; 4) $$x=0,\pm \frac13$$; 5) $$x=0,5$$; 6) $$x=-2,\pm 3$$; 7) $$x=5$$; 8) $$x=\pm 1$$.