Упр.724 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Представьте в виде произведения выражение:
1) х2(х + 4) — 20х(х + 4) + 100(х + 4);
2) a2-36-2a(36-a2)-a2(36-a2);
3) a2(b — 1) — b2 (a — 1);
4) (m — n) (n3 — р3) — (n — р) (m3 — n3).

Квадрат нечётного натурального числа тоже нечётный, так как если $$n=2k+1,$$ то

$$
(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1,
$$

а число вида $$4m+1$$ не делится на 2.

1) Вынесем общий множитель $$x+4$$:

$$
x^2(x+4)-20x(x+4)+100(x+4)=(x+4)(x^2-20x+100).
$$

$$
x^2-20x+100=(x-10)^2,
$$

значит,

$$
x^2(x+4)-20x(x+4)+100(x+4)=(x+4)(x-10)^2.
$$

2) Преобразуем выражение, выделяя общий множитель $$a^2-36$$:

$$
a^2-36-2a(36-a^2)-a^2(36-a^2)
$$

$$
=(a^2-36)+2a(a^2-36)+a^2(a^2-36)
$$

$$
=(a^2-36)(1+2a+a^2).
$$

Так как $$a^2-36=(a-6)(a+6),$$ а $$1+2a+a^2=(a+1)^2,$$ то

$$
a^2-36-2a(36-a^2)-a^2(36-a^2)=(a-6)(a+6)(a+1)^2.
$$

3) Группируем слагаемые:

$$
a^2(b-1)-b^2(a-1)=a^2b-a^2-ab^2+b^2.
$$

$$
=a b(a-b)-(a^2-b^2)
$$

$$
=ab(a-b)-(a-b)(a+b)
$$

$$
=(a-b)\bigl(ab-(a+b)\bigr).
$$

4) Используем формулу разности кубов:

$$
(m-n)(n^3-p^3)-(n-p)(m^3-n^3)
$$

$$
=(m-n)(n-p)(n^2+np+p^2)-(n-p)(m-n)(m^2+mn+n^2)
$$

$$
=(m-n)(n-p)\bigl(n^2+np+p^2-m^2-mn-n^2\bigr)
$$

$$
=(m-n)(n-p)(p^2+np-mn-m^2).
$$

Ответ

Квадрат нечётного натурального числа — нечётное число.

1) $$ (x+4)(x-10)^2 $$

2) $$ (a-6)(a+6)(a+1)^2 $$

3) $$ (a-b)\bigl(ab-a-b\bigr) $$

4) $$ (m-n)(n-p)(p^2+np-mn-m^2) $$