Упр.706 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
1) (-3m + 7n)2;
2) (-0,4х — 1,5y)2;
3) (-х2 — у)2;
4) (-а2b2 + с10)2. Есть 100 кучек но 100 монет. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на 1 г легче настоящей. Вес настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать, чтобы найти кучку из фальшивых монет?
Используем формулу квадрата суммы:
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
Тогда
$$(-3m+7n)^2=(3m-7n)^2=9m^2-42mn+49n^2.$$
$$(-0,4x-1,5y)^2=(0,4x+1,5y)^2$$
$$=0,16x^2+1,2xy+2,25y^2.$$
$$(-x^2-y)^2=(x^2+y)^2$$
$$=x^4+2x^2y+y^2.$$
$$(-a^2b^2+c^{10})^2=(a^2b^2-c^{10})^2$$
$$=a^4b^4-2a^2b^2c^{10}+c^{20}.$$
Чтобы найти кучку с фальшивыми монетами, достаточно одного взвешивания.
Возьмём из первой кучки 1 монету, из второй — 2 монеты, …, из сотой — 100 монет и взвесим все взятые монеты вместе.
Если бы все монеты были настоящими, масса составила бы
$$10(1+2+\dots+100)=10\cdot \frac{100\cdot 101}{2}=50500\text{ г}.$$
Пусть фактическая масса меньше на $$n$$ граммов. Тогда в кучке с фальшивыми монетами номер $$n$$, потому что каждая фальшивая монета легче на 1 г, а из этой кучки взято ровно столько монет, каков её номер.
Ответ: 1 взвешивание.
