Упр.703 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (* + 6b)2 = * + 24аb + * ;
2) (* — *)2 = 9m4 — 42m2n8 + *.
Найдите значение каждого из следующих выражений при а = 1 и а = -1:
1) а + а2 + a3 + а4 +… + а99 + а100;
2) а + а2 + а3 + a4 +… + а98 + а99;
3) аа2а3а4 … a99а100;
4) аа2а3а4 … а98а99.

Используем формулу квадрата суммы и квадрата разности:

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2, \qquad (x-y)^2=x^2-2xy+y^2. $$

1. $$(*+6b)^2=*+24ab+*$$

   Пусть первый одночлен равен $$2a$$. Тогда

   $$ (2a+6b)^2=4a^2+24ab+36b^2. $$

   Значит, вместо звёздочек нужно поставить $$2a$$, $$4a^2$$ и $$36b^2$$.

2. $$(*-*)^2=9m^4-42m^2n^8+*$$

   Пусть одночлены равны $$3m^2$$ и $$7n^8$$. Тогда

   $$ (3m^2-7n^8)^2=9m^4-42m^2n^8+49n^{16}. $$

   Значит, вместо звёздочек нужно поставить $$3m^2$$, $$7n^8$$ и $$49n^{16}$$.

Теперь найдём значения выражений при $$a=1$$ и $$a=-1$$.

1. $$a+a^2+a^3+\dots+a^{100}$$

   Если $$a=1$$, то каждый член равен $$1$$, поэтому

   $$1+1+\dots+1=100.$$

   Если $$a=-1$$, то члены с нечётными степенями равны $$-1$$, а с чётными — $$1$$. Таких членов поровну: по $$50$$, значит

   $$50\cdot(-1)+50\cdot1=0.$$

2. $$a+a^2+a^3+\dots+a^{99}$$

   Если $$a=1$$, то

   $$1+1+\dots+1=99.$$

   Если $$a=-1$$, то

   $$50\cdot(-1)+49\cdot1=-1.$$

3. $$aa^2a^3a^4\dots a^{99}a^{100}$$

   Это произведение равно

   $$a^{1+2+3+\dots+100}=a^{5050}.$$

   Если $$a=1$$, то $$1^{5050}=1$$. Если $$a=-1$$, то $$(-1)^{5050}=1$$, так как степень чётная.

4. $$aa^2a^3a^4\dots a^{98}a^{99}$$

   Это произведение равно

   $$a^{1+2+3+\dots+99}=a^{4950}.$$

   Если $$a=1$$, то $$1^{4950}=1$$. Если $$a=-1$$, то $$(-1)^{4950}=1$$, так как степень чётная.

Ответ

1) $$2a,\ 4a^2,\ 36b^2$$; 2) $$3m^2,\ 7n^8,\ 49n^{16}$$.

При $$a=1$$ и $$a=-1$$:

1) $$100$$ и $$0$$; 2) $$99$$ и $$-1$$; 3) $$1$$ и $$1$$; 4) $$1$$ и $$1$$.