Упр.696 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (3a — 2)^2; 5) (3a + 1/3 b)^2; 9) (a^3 — 4b)^2;
2) (7b + 6)^2; 6) (b^2 — 11)^2; 10) (a^2 + a)^2;
3) (8x + 4y)^2; 7) (a^2 + 4b)^2; 11) (3b^2 — 2b^5)^2;
4) (0,4m — 0,5n)^2; 8) (x^2 + y^3)^2; 12) (1 1/7 ab — 7/8 c)^2. Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

1. $$\begin{aligned}
   (3a-2)^2&=(3a)^2-2\cdot 3a\cdot 2+2^2=9a^2-12a+4,\\
   (7b+6)^2&=(7b)^2+2\cdot 7b\cdot 6+6^2=49b^2+84b+36,\\
   (8x+4y)^2&=(8x)^2+2\cdot 8x\cdot 4y+(4y)^2=64x^2+64xy+16y^2,\\
   (0{,}4m-0{,}5n)^2&=(0{,}4m)^2-2\cdot 0{,}4m\cdot 0{,}5n+(0{,}5n)^2\\
   &=0{,}16m^2-0{,}4mn+0{,}25n^2,\\
   \left(3a+\frac13 b\right)^2&=(3a)^2+2\cdot 3a\cdot \frac13 b+\left(\frac13 b\right)^2\\
   &=9a^2+2ab+\frac19 b^2,\\
   (b^2-11)^2&=(b^2)^2-2\cdot b^2\cdot 11+11^2=b^4-22b^2+121,\\
   (a^2+4b)^2&=(a^2)^2+2\cdot a^2\cdot 4b+(4b)^2=a^4+8a^2b+16b^2,\\
   (x^2+y^3)^2&=(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot y^3+(y^3)^2=x^4+2x^2y^3+y^6,\\
   (a^3-4b)^2&=(a^3)^2-2\cdot a^3\cdot 4b+(4b)^2=a^6-8a^3b+16b^2,\\
   (a^2+a)^2&=(a^2)^2+2\cdot a^2\cdot a+a^2=a^4+2a^3+a^2,\\
   (3b^2-2b^5)^2&=(3b^2)^2-2\cdot 3b^2\cdot 2b^5+(2b^5)^2\\
   &=9b^4-12b^7+4b^{10},\\
   \left(1\frac17 ab-\frac78 c\right)^2&=\left(\frac87 ab-\frac78 c\right)^2\\
   &=\left(\frac87 ab\right)^2-2\cdot \frac87 ab\cdot \frac78 c+\left(\frac78 c\right)^2\\
   &=\frac{64}{49}a^2b^2-2abc+\frac{49}{64}c^2.
   \end{aligned}$$
2. Пусть два последовательных натуральных числа, не делящиеся на $3$, равны $$3n-1 \text{ и } 3n+1.$$ Тогда
   $$\begin{aligned}
   (3n-1)^3+(3n+1)^3
   &= (3n-1+3n+1)\bigl((3n-1)^2-(3n-1)(3n+1)+(3n+1)^2\bigr)\\
   &= 6n\bigl((9n^2-6n+1)-(9n^2-1)+(9n^2+6n+1)\bigr)\\
   &= 6n(9n^2+3)\\
   &= 18n(3n^2+1).
   \end{aligned}$$
   Так как $$18n(3n^2+1)=9\cdot 2n(3n^2+1),$$
   то сумма кубов делится нацело на $9$.

Ответ

1) $$9a^2-12a+4$$; 2) $$49b^2+84b+36$$; 3) $$64x^2+64xy+16y^2$$; 4) $$0{,}16m^2-0{,}4mn+0{,}25n^2$$; 5) $$9a^2+2ab+\frac19 b^2$$; 6) $$b^4-22b^2+121$$; 7) $$a^4+8a^2b+16b^2$$; 8) $$x^4+2x^2y^3+y^6$$; 9) $$a^6-8a^3b+16b^2$$; 10) $$a^4+2a^3+a^2$$; 11) $$9b^4-12b^7+4b^{10}$$; 12) $$\frac{64}{49}a^2b^2-2abc+\frac{49}{64}c^2$$. Сумма кубов делится на $9$.