Упр.694 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (3x + 5y)^2;
2) (1/2 a + 6b)^2;
3) (1/3 x^4 — 0,6y^5)^2.
Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:
1) разность их квадратов;
2) сумма их квадратов;
3) сумма их кубов?

Используем формулы:

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, $$

$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. $$

1. $$
   (3x+5y)^2=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 5y+(5y)^2=9x^2+30xy+25y^2.
   $$

2. $$
   \left(\frac12 a+6b\right)^2=\left(\frac12 a\right)^2+2\cdot \frac12 a\cdot 6b+(6b)^2
   =\frac14 a^2+6ab+36b^2.
   $$

3. $$
   \left(\frac13 x^4-0{,}6y^5\right)^2=\left(\frac13 x^4\right)^2-2\cdot \frac13 x^4\cdot 0{,}6y^5+(0{,}6y^5)^2
   $$
   $$=\frac19 x^8-0{,}4x^4y^5+0{,}36y^{10}.
   $$

Пусть сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то есть $$a+b$$ делится на $$n$$.

1. $$
   a^2-b^2=(a-b)(a+b).
   $$

   Так как множитель $$a+b$$ делится на $$n$$, то и всё произведение делится на $$n$$. Значит, можно утверждать.

2. $$
   a^2+b^2
   $$

   не выражается через множитель $$a+b$$, поэтому делимость на $$n$$ не следует. Нельзя утверждать.

3. $$
   a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
   $$

   Следовательно, сумма кубов делится на $$n$$. Можно утверждать.

Ответ

1) $$9x^2+30xy+25y^2$$; 2) $$\frac14 a^2+6ab+36b^2$$; 3) $$\frac19 x^8-0{,}4x^4y^5+0{,}36y^{10}$$.

Можно утверждать для 1) и 3), нельзя — для 2).