Упр.691 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (12а — b)2 = 144а2 — b2;
2) (12а — b)2 = 144а2 + 24аb + b2;
3) (12а — b)2 = 144а2 — 24ab + b2;
4) (12а — b)2 = 12а2 — 24аb + b2? Докажите, что значение выражения:
1) 341^3 + 109^3 делится нацело на 90;
2) 2^15 + 3^3 делится нацело на 35.

Подробный ответ

1) Раскроем квадрат двучлена:

$$
(12a-b)^2=(12a)^2-2\cdot 12a\cdot b+b^2=144a^2-24ab+b^2.
$$

Тождеством является равенство под номером 3.

2) Используем формулу суммы кубов:

$$
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).
$$

Тогда

$$
341^3+109^3=(341+109)(341^2-341\cdot 109+109^2)=450(341^2-341\cdot 109+109^2).
$$

Так как $$450$$ делится на $$90$$, то и всё выражение делится нацело на $$90$$.

3) Снова применим формулу суммы кубов:

$$
2^{15}+3^3=(2^5)^3+3^3=(2^5+3)\bigl(2^{10}-2^5\cdot 3+3^2\bigr).
$$

Так как $$2^5+3=32+3=35$$, получаем