Упр.685 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) а и 3а;
2) а2 и 3a2;
3) а2 + 1 и 3a2 + 3.
Упростите выражение:
1) (х + 1)(х2-х + 1) + (2-х)(4 + 2х + х2);
2) (х — 4) (х2 + 4х + 16) — х(х — 5)(х + 5);
3) а(а — 3)2 — (а + 3) (а2 — 3а + 9);
4) (а — 1)(а + 1)(а2 — а + 1)(а2 + а + 1)(a6 + 1)(a12 + 1).

Подробный ответ

Чтобы второе выражение было в 3 раза больше первого, должно выполняться равенство:
$$3a=3\cdot a,$$
$$3a^2=3\cdot a^2,$$
$$3a^2+3=3(a^2+1).$$
Во всех трёх случаях равенство верно при любом значении переменной, где выражения определены. Значит:
1) $$a$$ — любое число;
2) $$a$$ — любое число;
3) $$a$$ — любое число.
1)
$$
(x+1)(x^2-x+1)+(2-x)(4+2x+x^2)
$$
$$
= (x^3+1)+(8-x^3)=9.
$$
2)
$$
(x-4)(x^2+4x+16)-x(x-5)(x+5)
$$
$$
= (x^3-64)-x(x^2-25)
$$
$$
= x^3-64-x^3+25x=25x-64.
$$
3)
$$
a(a-3)^2-(a+3)(a^2-3a+9)
$$
$$
= a(a^2-6a+9)-(a^3+27)
$$
$$
= a^3-6a^2+9a-a^3-27=-6a^2+9a-27.
$$
4)
$$
(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)
$$
$$
= (a^2-1)(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)
$$
$$
= (a^3-1)(a^3+1)(a^6+1)(a^{12}+1)
$$
$$
= (a^6-1)(a^6+1)(a^{12}+1)
$$
$$
= (a^{12}-1)(a^{12}+1)=a^{24}-1.
$$