Упр.665 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (х-2)2 -4;
2) (b + 7)2 — 100с2;
3) 121 — (b + 7)2;
4) а4 -(7b-a2)2;
5) (4х — 9)2 — (2х + 19)2;
6) (а + b + с)2 — (а — b — с)2. Числа а, b и с таковы, что а2 + b2 + с2 — ab — ас — bс = 0. Чему равно значение выражения а + b — 2с?

Подробный ответ

$$ (x-2)^2-4=(x-2)^2-2^2=(x-2-2)(x-2+2)=x(x-4). $$
$$ (b+7)^2-100c^2=(b+7)^2-(10c)^2=(b+7-10c)(b+7+10c). $$
$$ 121-(b+7)^2=11^2-(b+7)^2=(11-b-7)(11+b+7)=(4-b)(b+18). $$
$$ a^4-(7b-a^2)^2=(a^2)^2-(7b-a^2)^2 $$
$$ =(a^2-(7b-a^2))(a^2+(7b-a^2))=(2a^2-7b)\cdot 7b. $$
$$ (4x-9)^2-(2x+19)^2=((4x-9)-(2x+19))((4x-9)+(2x+19)) $$
$$ =(2x-28)(6x+10). $$
$$ (a+b+c)^2-(a-b-c)^2 $$
$$ =\bigl((a+b+c)-(a-b-c)\bigr)\bigl((a+b+c)+(a-b-c)\bigr) $$
$$ =(2b+2c)\cdot 2a=4a(b+c). $$

Если $$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0,$$ то умножим равенство на $$2$$:

$$ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0, $$

то есть

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0. $$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю. Значит,

$$ a=b=c. $$

Тогда

$$ a+b-2c=c+c-2c=0. $$