Упр.658 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 86^2 — 76^2; 3) 7,32^2 — 6,32^2; 5) 8,54^2 — 1,46^2;
2) 107^2 — 93^2; 4) 19,4^2 — 19,3^2; 6) (3 2/3)^2 — (2 1/3)^2. Существуют ли такие значения х и у, при которых равно нулю значение многочлена:
1) х2 + 4у2 + 2х — 4у + 2;
2) 9х2 + у2 — 12х + 8у + 21?

Подробный ответ

1) Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

$$86^2-76^2=(86-76)(86+76)=10\cdot 162=1620,$$
$$107^2-93^2=(107-93)(107+93)=14\cdot 200=2800,$$
$$7{,}32^2-6{,}32^2=(7{,}32-6{,}32)(7{,}32+6{,}32)=1\cdot 13{,}64=13{,}64,$$
$$19{,}4^2-19{,}3^2=(19{,}4-19{,}3)(19{,}4+19{,}3)=0{,}1\cdot 38{,}7=3{,}87,$$
$$8{,}54^2-1{,}46^2=(8{,}54-1{,}46)(8{,}54+1{,}46)=7{,}08\cdot 10=70{,}8,$$
$$\left(3\frac{2}{3}\right)^2-\left(2\frac{1}{3}\right)^2=\left(3\frac{2}{3}-2\frac{1}{3}\right)\left(3\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}\cdot 6=8.$$

2) Проверим, может ли многочлен равняться нулю.

$$x^2+4y^2+2x-4y+2=0$$
$$x^2+2x+1+4y^2-4y+1=0$$
$$\left(x+1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=0.$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x+1=0,\quad 2y-1=0,$$
$$x=-1,\quad y=\frac12.$$

$$9x^2+y^2-12x+8y+21=0$$
$$9x^2-12x+4+y^2+8y+16+1=0$$
$$\left(3x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2+1=0.$$

Но $$\left(3x-2\right)^2\ge 0$$ и $$\left(y+4\right)^2\ge 0,$$ значит левая часть не может быть равна нулю.