Упр.652 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Представьте многочлен 81/16*х4 + y8 — 9/2*х2у4 в виде произведения квадратов двух двучленов.

1) Пусть $$x$$ — число 4-тонных грузовиков, $$y$$ — число 7-тонных, $$z$$ — число 8-тонных. Тогда получаем уравнение:

$$4x+7y+8z=44.$$

Разделим его на $$4$$:

$$x+\frac{7}{4}y+2z=11.$$

Так как $$x$$, $$y$$ и $$z$$ — целые неотрицательные числа, то $$y$$ должно быть кратно $$4$$. При этом $$7y \le 44$$, значит $$y$$ может быть только $$0$$ или $$4$$.

Проверим $$y=0$$:

$$x+2z=11.$$

Подбираем неотрицательные целые значения $$z$$:

$$z=0 \Rightarrow x=11,$$
$$z=1 \Rightarrow x=9,$$
$$z=2 \Rightarrow x=7,$$
$$z=3 \Rightarrow x=5,$$
$$z=4 \Rightarrow x=3,$$
$$z=5 \Rightarrow x=1.$$

Здесь возможны решения, но по условию требуется использовать грузовики всех видов.

Проверим $$y=4$$:

$$x+7+2z=11,$$

$$x+2z=4.$$

Тогда:

$$z=0 \Rightarrow x=4,$$
$$z=1 \Rightarrow x=2,$$
$$z=2 \Rightarrow x=0.$$

Чтобы были использованы грузовики всех видов, нужно взять $$x>0$$, $$y>0$$, $$z>0$$. Подходит только:

$$x=2,\quad y=4,\quad z=1.$$

2) Представим многочлен в виде квадрата двучлена:

$$\frac{81}{16}x^4+y^8-\frac{9}{2}x^2y^4=\left(\frac{9}{4}x^2\right)^2-2\cdot\frac{9}{4}x^2\cdot y^4+(y^4)^2.$$

Значит,

$$\frac{81}{16}x^4+y^8-\frac{9}{2}x^2y^4=\left(\frac{9}{4}x^2-y^4\right)^2.$$

Далее разложим разность квадратов:

$$\left(\frac{9}{4}x^2-y^4\right)^2=\left(\frac{3}{2}x-y^2\right)^2\left(\frac{3}{2}x+y^2\right)^2.$$

Ответ

$$2$$ грузовика по $$4$$ т, $$4$$ грузовика по $$7$$ т, $$1$$ грузовик по $$8$$ т; $$\left(\frac{3}{2}x-y^2\right)^2\left(\frac{3}{2}x+y^2\right)^2.$$