Упр.646 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х:
1) х2 — 6х + 10;
2) 16х2+24Х + 25;
3) х2+х + 1.

Пусть весь урожай равен 1. Тогда за 1 час первый автомобиль перевозит $$\frac{1}{10}$$ урожая, второй — $$\frac{1}{12}$$, третий — $$\frac{1}{15}$$.

Их совместная производительность:

$$
\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}
=\frac{6+5+4}{60}
=\frac{15}{60}
=\frac{1}{4}.
$$

Значит, весь урожай они перевезут за

$$
1:\frac{1}{4}=4.
$$

Рассмотрим выражения.

1. $$
   x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1.
   $$

   Так как $$\,(x-3)^2\ge 0,$$ то

   $$
   (x-3)^2+1\ge 1.
   $$

   Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=3$$.

2. $$
   16x^2+24x+25=16x^2+24x+9+16=(4x+3)^2+16.
   $$

   Так как $$\,(4x+3)^2\ge 0,$$ то

   $$
   (4x+3)^2+16\ge 16.
   $$

   Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$16$$ и достигается при $$4x+3=0,$$ то есть при $$x=-\frac{3}{4}$$.

3. $$
   x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}.
   $$

   Так как $$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge 0,$$ то

   $$
   \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}.
   $$

   Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$\frac{3}{4}$$ и достигается при $$x=-\frac{1}{2}$$.

Ответ

1) $$4$$ ч; 2) наименьшее значение $$1$$, при $$x=3$$; 3) наименьшее значение $$16$$, при $$x=-\frac{3}{4}$$; 4) наименьшее значение $$\frac{3}{4}$$, при $$x=-\frac{1}{2}$$.