Упр.643 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) 253 * 259 и 252 * 260;
2) 987 654^2 и 987 646 * 987 662.
Докажите тождество:
1) (a-1)2 +2(а-1) + 1 = а2;
2) (а + b)2 — 2(а + b) (a- b) +(a- b)2 = 4b2;
3) (а — 8)2 + 2(а — 8)(3 — а) + (а — 3)2 = 25;
4) (хn — 2)2 — 2(хn — 2)(хn + 2) + (xn + 2)2 = 16, где n — произвольное натуральное число.

1. Сравним выражения, представив их в виде разности квадратов:

   $$253 \cdot 259 = (256 — 3)(256 + 3) = 256^2 — 9,$$

   $$252 \cdot 260 = (256 — 4)(256 + 4) = 256^2 — 16.$$

   Так как $$256^2 — 9 > 256^2 — 16,$$ то

   $$253 \cdot 259 > 252 \cdot 260.$$

2. Аналогично:

   $$987\,646 \cdot 987\,662 = (987\,654 — 8)(987\,654 + 8) = 987\,654^2 — 64.$$

   Следовательно,

   $$987\,654^2 > 987\,654^2 — 64,$$

   значит

   $$987\,654^2 > 987\,646 \cdot 987\,662.$$

3. Докажем тождество:

   $$
   (a-1)^2 + 2(a-1) + 1
   = a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1
   = a^2.
   $$

4. Докажем тождество:

   $$
   (a+b)^2 — 2(a+b)(a-b) + (a-b)^2
   $$

   $$
   = a^2 + 2ab + b^2 — 2(a^2 — b^2) + a^2 — 2ab + b^2
   $$

   $$
   = 2a^2 + 2b^2 — 2a^2 + 2b^2 = 4b^2.
   $$

5. Докажем тождество:

   $$
   (a-8)^2 + 2(a-8)(3-a) + (a-3)^2
   $$

   $$
   = a^2 — 16a + 64 + 2(3a — a^2 — 24 + 8a) + a^2 — 6a + 9
   $$

   $$
   = a^2 — 16a + 64 + 2(11a — a^2 — 24) + a^2 — 6a + 9
   $$

   $$
   = a^2 — 16a + 64 + 22a — 2a^2 — 48 + a^2 — 6a + 9 = 25.
   $$

6. Докажем тождество:

   $$
   (x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2
   $$

   $$
   = x^{2n} — 4x^n + 4 — 2(x^{2n} — 4) + x^{2n} + 4x^n + 4
   $$

   $$
   = x^{2n} — 4x^n + 4 — 2x^{2n} + 8 + x^{2n} + 4x^n + 4 = 16.
   $$

Ответ

1) $$253 \cdot 259 > 252 \cdot 260$$; 2) $$987\,654^2 > 987\,646 \cdot 987\,662$$; 3) верно; 4) верно; 5) верно; 6) верно.